alex/likemath.ru
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/AlekseyLobanov/AlekseyLobanov.github.io.git synced 2026-01-11 20:52:01 +03:00
Code Issues Projects Releases Wiki Activity
Files
f807b8b4c3bcc8ca909b9c523e2714e9cd627c96
likemath.ru/posts/nakhozhdenie-summy-k-ykh-stepenei/index.html

69 lines
11 KiB
HTML
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters
This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.
<!DOCTYPE html>
<!--[if lt IE 7]> <html class="no-js lt-ie9 lt-ie8 lt-ie7"> <![endif]--><!--[if IE 7]> <html class="no-js lt-ie9 lt-ie8"> <![endif]--><!--[if IE 8]> <html class="no-js lt-ie9"> <![endif]--><!--[if gt IE 8]><!--><html class="no-js"> <head><meta charset="utf-8"><meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"><title>Нахождение суммы k-ых степеней</title><meta name="description" content><meta name="viewport" content="width=device-width"><link rel="stylesheet" href="../../theme/css/normalize.css"><link href="http://fonts.googleapis.com/css?family=Philosopher&subset=latin,cyrillic" rel="stylesheet" type="text/css"><link href="http://fonts.googleapis.com/css?family=Forum&subset=cyrillic" rel="stylesheet" type="text/css"><link href="//fonts.googleapis.com/css?family=Oswald" rel="stylesheet" type="text/css"><link href="http://fonts.googleapis.com/css?family=Ubuntu+Mono" rel="stylesheet" type="text/css"><link href="http://fonts.googleapis.com/css?family=PT+Sans" rel="stylesheet" type="text/css"><link rel="stylesheet" href="../../theme/css/font-awesome.min.css"><link rel="stylesheet" href="../../theme/css/main.css"><link rel="stylesheet" href="../../theme/css/blog.css"><link rel="stylesheet" href="../../theme/css/github.css"><link href="http://likemath.ru/feeds/all.atom.xml" type="application/atom+xml" rel="alternate" title="Блог 529 Atom Feed"><link href="http://likemath.ru/feeds/all.rss.xml" type="application/rss+xml" rel="alternate" title="Блог 529 RSS Feed"><script src="../../theme/js/vendor/modernizr-2.6.2.min.js"></script></head><body><!--[if lt IE 7]>
<p class="chromeframe">You are using an <strong>outdated</strong> browser. Please <a href="http://browsehappy.com/">upgrade your browser</a> or <a href="http://www.google.com/chromeframe/?redirect=true">activate Google Chrome Frame</a> to improve your experience.</p>
<![endif]--><div id="wrapper"><header id="sidebar" class="side-shadow"><hgroup id="site-header"><a id="site-title" href="../.."><h2><i class="icon-pencil"></i> Блог 529</h2></a><p id="site-desc"> Project Euler и остальное </p></hgroup><nav><ul id="nav-links"><li><a href="../../">Главная</a></li><li><a href="../../pages/projects.html">Мои проекты</a></li><li><a href="../../pages/about.html">Об авторе</a></li><li><a href="../../feeds/feed.atom.xml">Atom feed</a></li></ul></nav><footer id="site-info"><p> Powered by Pelican. </p></footer></header><div id="post-container"><ol id="post-list"><li><article class="post-entry"><header class="entry-header"><time class="post-time" datetime="2016-07-22T13:35:00+03:00" pubdate> Пт 22 Июль 2016 </time><a href="../../posts/nakhozhdenie-summy-k-ykh-stepenei/" rel="bookmark"><h1>Нахождение суммы k-ых&nbsp;степеней</h1></a></header><section class="post-content"><p>Давайте сразу обобщим задачу до нахождения <span class="math">\(f_k\left( n \right)\)</span>,&nbsp;где </p><div class="math">$$f_k\left( n \right) = 1^k + 2^k + \ldots + n^k$$</div><p> Для <span class="math">\(k=1\)</span> формула известна всем школьникам: <span class="math">\(f_1\left( n \right) = \frac{n\left(n+1 \right)}{2}\)</span>. Формулу для <span class="math">\(k=2\)</span> знают уже не все, но всё же в школе её найти можно (я видел на обложке учебника по алгебре): <span class="math">\(f_2\left( n \right) = \frac{n\left(n+1 \right) \left( 2n + 1&nbsp;\right)}{6}\)</span></p><p>Интуиция может подсказать, что <span class="math">\(f_k \left( n \right)\)</span> есть некий полином со степенью <span class="math">\(k+1\)</span>. Если это так, то его нахождение тривиально. Например, можно посчитать его в явном виде, используя <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0">полином Лагранжа</a>. Осталось показать, что наша функция представима в таком&nbsp;виде.</p><p>Для начала введём обозначение. &#8220;Нижней степенью&#8221;, <span class="math">\(x^{\underline{k}}\)</span>, будем обозначать такое&nbsp;выражение: </p><div class="math">$$x^{\underline{k}} = x(x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)$$</div><p>.</p><p>Далее, заметим следующее, если <span class="math">\(a_i = A_{i+1} - A_i\)</span>, где <span class="math">\(\lbrace a_i \rbrace\)</span> и <span class="math">\(\lbrace A_i \rbrace\)</span> &#8212; некие последовательности, то <span class="math">\(\sum_{i=1}^n = A_{n+1}-A_1\)</span> (<em>телескопирование</em>, можно посмотреть <a href="http://www.mi.ras.ru/~scepin/interpol.pdf">тут</a>, с.&nbsp;6).</p><p>Теперь посчитаем сумму <span class="math">\(\sum_{i=1}^n i^{\underline{k}}\)</span>. Для этого достаточно понять, что <span class="math">\(\left( x+1 \right)^{\underline{k+1}} - \left(x \right)^{\underline{k+1}} = \left( k+ 1 \right)x^{\underline{k}}\)</span>. Отсюда сразу получаем,&nbsp;что </p><div class="math">$$\sum_{i=1}^n i^{\underline{k}} = \frac{\left( n+1 \right)^{\underline{k+1}}}{k+1}$$</div><p>Осталось показать, что &#8220;нормальные&#8221; степени выражаются через нижние. Начнём со степени <span class="math">\(k=1\)</span>, тут всё&nbsp;просто: </p><div class="math">$$x = x^{\underline{1}}$$</div><p> С бОльшими степенями сделаем следующее: считая, что все степени, меньше, чем <span class="math">\(k\)</span> мы выражать умеем, раскроем скобки в определении нижней степени. Теперь поймём, что старший коэффициент <span class="math">\(1\)</span>: <span class="math">\(x^{\underline{k}} = x^k + \sum_{i=1}^k a_ix^i\)</span> или <span class="math">\(x^k = \sum_{i=1}^k a_ix^i - x^{\underline{k}}\)</span>. Осталось понять, что каждое из слагаемых вида <span class="math">\(a_ix^i\)</span> мы умеем выражать через нижние степени. Таким образом, можно получить&nbsp;следующее: </p><div class="math">$$ \sum_{i=1}^{n} i^k = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} a_j i^{\underline{k}} = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} a_j i^{\underline{k}} = \sum_{j=1}^{k} \frac{a_j \left(n+1 \right)^{\underline{k+1}}}{k+1}$$</div><p>Кстати, формула для суммы в самом начале&nbsp;такая: </p><div class="math">$$ \sum_{i=1}^n i^5 = \frac{1}{12} n^2 \left(n+1 \right)^2 \left(2n^2 + 2n-1 \right) $$</div><script type="text/javascript">if (!document.getElementById('mathjaxscript_pelican_#%@#$@#')) {
var align = "center",
indent = "0em",
linebreak = "false";
if (false) {
align = (screen.width < 768) ? "left" : align;
indent = (screen.width < 768) ? "0em" : indent;
linebreak = (screen.width < 768) ? 'true' : linebreak;
}
var mathjaxscript = document.createElement('script');
mathjaxscript.id = 'mathjaxscript_pelican_#%@#$@#';
mathjaxscript.type = 'text/javascript';
mathjaxscript.src = 'https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML';
mathjaxscript[(window.opera ? "innerHTML" : "text")] =
"MathJax.Hub.Config({" +
" config: ['MMLorHTML.js']," +
" TeX: { extensions: ['AMSmath.js','AMSsymbols.js','noErrors.js','noUndefined.js'], equationNumbers: { autoNumber: 'AMS' } }," +
" jax: ['input/TeX','input/MathML','output/HTML-CSS']," +
" extensions: ['tex2jax.js','mml2jax.js','MathMenu.js','MathZoom.js']," +
" displayAlign: '"+ align +"'," +
" displayIndent: '"+ indent +"'," +
" showMathMenu: true," +
" messageStyle: 'normal'," +
" tex2jax: { " +
" inlineMath: [ ['\\\\(','\\\\)'] ], " +
" displayMath: [ ['$$','$$'] ]," +
" processEscapes: true," +
" preview: 'TeX'," +
" }, " +
" 'HTML-CSS': { " +
" styles: { '.MathJax_Display, .MathJax .mo, .MathJax .mi, .MathJax .mn': {color: 'inherit ! important'} }," +
" linebreaks: { automatic: "+ linebreak +", width: '90% container' }," +
" }, " +
"}); " +
"if ('default' !== 'default') {" +
"MathJax.Hub.Register.StartupHook('HTML-CSS Jax Ready',function () {" +
"var VARIANT = MathJax.OutputJax['HTML-CSS'].FONTDATA.VARIANT;" +
"VARIANT['normal'].fonts.unshift('MathJax_default');" +
"VARIANT['bold'].fonts.unshift('MathJax_default-bold');" +
"VARIANT['italic'].fonts.unshift('MathJax_default-italic');" +
"VARIANT['-tex-mathit'].fonts.unshift('MathJax_default-italic');" +
"});" +
"MathJax.Hub.Register.StartupHook('SVG Jax Ready',function () {" +
"var VARIANT = MathJax.OutputJax.SVG.FONTDATA.VARIANT;" +
"VARIANT['normal'].fonts.unshift('MathJax_default');" +
"VARIANT['bold'].fonts.unshift('MathJax_default-bold');" +
"VARIANT['italic'].fonts.unshift('MathJax_default-italic');" +
"VARIANT['-tex-mathit'].fonts.unshift('MathJax_default-italic');" +
"});" +
"}";
(document.body || document.getElementsByTagName('head')[0]).appendChild(mathjaxscript);
}
</script></section><hr><aside class="post-meta"><p>Категория: <a href="../../category/misc.html">misc</a></p><p>Теги: <a href="../../tag/matematika.html">математика</a>, </p></aside><hr></article></li></ol></div></div><script type="text/javascript">
var _paq = _paq || [];
_paq.push(['trackPageView']);
_paq.push(['enableLinkTracking']);
(function() {
var u="//piwik.likemath.ru/";
_paq.push(['setTrackerUrl', u+'piwik.php']);
_paq.push(['setSiteId', '1']);
var d=document, g=d.createElement('script'), s=d.getElementsByTagName('script')[0];
g.type='text/javascript'; g.async=true; g.defer=true; g.src=u+'piwik.js'; s.parentNode.insertBefore(g,s);
})();
</script> <script src="../../theme/js/main.js"></script></body></html>
Reference in New Issue View Git Blame Copy Permalink