mirror of
https://github.com/AlekseyLobanov/AlekseyLobanov.github.io.git
synced 2026-01-12 05:02:02 +03:00
142 lines
11 KiB
HTML
142 lines
11 KiB
HTML
<!DOCTYPE html>
|
||
<!--[if lt IE 7]> <html class="no-js lt-ie9 lt-ie8 lt-ie7"> <![endif]-->
|
||
<!--[if IE 7]> <html class="no-js lt-ie9 lt-ie8"> <![endif]-->
|
||
<!--[if IE 8]> <html class="no-js lt-ie9"> <![endif]-->
|
||
<!--[if gt IE 8]><!--> <html class="no-js"> <!--<![endif]-->
|
||
<head>
|
||
<meta charset="utf-8">
|
||
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1">
|
||
<title> Нахождение суммы k-ых степеней
|
||
</title>
|
||
<meta name="description" content="">
|
||
<meta name="viewport" content="width=device-width">
|
||
<link rel="stylesheet" href="../../theme/css/normalize.css">
|
||
<link href='http://fonts.googleapis.com/css?family=Philosopher&subset=latin,cyrillic' rel='stylesheet' type='text/css'>
|
||
<link href='http://fonts.googleapis.com/css?family=Forum&subset=cyrillic' rel='stylesheet' type='text/css'>
|
||
<link href='//fonts.googleapis.com/css?family=Oswald' rel='stylesheet' type='text/css'>
|
||
<link href='http://fonts.googleapis.com/css?family=Ubuntu+Mono' rel='stylesheet' type='text/css'>
|
||
<link href='http://fonts.googleapis.com/css?family=PT+Sans' rel='stylesheet' type='text/css'>
|
||
<link rel="stylesheet" href="../../theme/css/font-awesome.min.css">
|
||
<link rel="stylesheet" href="../../theme/css/main.css">
|
||
|
||
<link rel="stylesheet" href="../../theme/css/blog.css">
|
||
<link rel="stylesheet" href="../../theme/css/github.css">
|
||
<link href="http://likemath.ru/feeds/all.atom.xml" type="application/atom+xml" rel="alternate" title="Блог 529 Atom Feed" />
|
||
<link href="http://likemath.ru/feeds/all.rss.xml" type="application/rss+xml" rel="alternate" title="Блог 529 RSS Feed" />
|
||
<script src="../../theme/js/vendor/modernizr-2.6.2.min.js"></script>
|
||
</head>
|
||
<body>
|
||
<!--[if lt IE 7]>
|
||
<p class="chromeframe">You are using an <strong>outdated</strong> browser. Please <a href="http://browsehappy.com/">upgrade your browser</a> or <a href="http://www.google.com/chromeframe/?redirect=true">activate Google Chrome Frame</a> to improve your experience.</p>
|
||
<![endif]-->
|
||
|
||
<div id="wrapper">
|
||
<header id="sidebar" class="side-shadow">
|
||
<hgroup id="site-header">
|
||
<a id="site-title" href="../.."><h2><i class="icon-coffee"></i> Блог 529</h2></a>
|
||
<p id="site-desc"> Project Euler и остальное </p>
|
||
</hgroup>
|
||
<nav>
|
||
<ul id="nav-links">
|
||
<li><a href="../..//">Главная</a></li>
|
||
<li><a href="../../pages/projects.html">Мои проекты</a></li>
|
||
<li><a href="../../pages/about.html">Об авторе</a></li>
|
||
<li><a href="../../feeds/feed.atom.xml">Atom feed</a></li>
|
||
</ul>
|
||
</nav>
|
||
<footer id="site-info">
|
||
<p>
|
||
Powered by Pelican.
|
||
</p>
|
||
</footer></header>
|
||
<div id="post-container">
|
||
<ol id="post-list">
|
||
<li>
|
||
<article class="post-entry">
|
||
<header class="entry-header">
|
||
<time class="post-time" datetime="2016-07-22T13:35:00+03:00" pubdate>
|
||
Пт 22 Июль 2016
|
||
</time>
|
||
<a href="../../posts/nakhozhdenie-summy-k-ykh-stepenei/" rel="bookmark"><h1>Нахождение суммы k-ых степеней</h1></a>
|
||
</header>
|
||
|
||
<section class="post-content">
|
||
<p>Давайте сразу обобщим задачу до нахождения <span class="math">\(f_k\left( n \right)\)</span>, что <div class="math">$$f_k\left( n \right) = 1^k + 2^k + \ldots + n^k$$</div>
|
||
Для <span class="math">\(k=1\)</span> формула известна всем школьникам: <span class="math">\(f_1\left( n \right) = \frac{n\left(n+1 \right)}{2}\)</span>. Формулу для <span class="math">\(k=2\)</span> знают уже не все, но всё же в школе её найти можно (я видел на обложке учебника по алгебре): <span class="math">\(f_2\left( n \right) = \frac{n\left(n+1 \right) \left( 2n + 1 \right)}{6}\)</span></p>
|
||
<p>Интуиция может подсказать, что <span class="math">\(f_k \left( n \right)\)</span> есть некий полином со степенью <span class="math">\(k+1\)</span>. Если это так, то его нахождение тривиально. Например, можно посчитать его в явном виде, используя <a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0">полином Лагагранжа</a>.
|
||
Осталось показать, что наша функция представима в таком виде.</p>
|
||
<p>Для начала введём обозначение. “Нижней степенью”, <span class="math">\(x^{\underline{k}}\)</span>, будем обозначать такое выражение: <div class="math">$$x^{\underline{k}} = x(x-1)\cdot \ldots \cdot (x-k+1)$$</div>.</p>
|
||
<p>Далее, заметим следующее, если <span class="math">\(a_i = A_{i+1} - A_i\)</span>, где <span class="math">\(\lbrace a_i \rbrace\)</span> и <span class="math">\(\lbrace A_i \rbrace\)</span> — некие последовательности, то <span class="math">\(\sum_{i=1}^n = A_{n+1}-A_1\)</span> (<em>телескопирование</em>, можно посмотреть <a href="http://www.mi.ras.ru/~scepin/interpol.pdf">тут</a>, с. 6).</p>
|
||
<p>Теперь посчитаем сумму <span class="math">\(\sum_{i=1}^n i^{\underline{k}}\)</span>. Для этого достаточно понять, что <span class="math">\(\left( x+1 \right)^{\underline{k+1}} - \left(x \right)^{\underline{k+1}} = \left( k+ 1 \right)x^{\underline{k}}\)</span>. Отсюда сразу получаем, что
|
||
<div class="math">$$\sum_{i=1}^n i^{\underline{k}} = \frac{\left( n+1 \right)^{\underline{k+1}}}{k+1}$$</div>
|
||
</p>
|
||
<p>Осталось показать, что “нормальные” степени выражаются через нижние. Начнём со степени <span class="math">\(k=1\)</span>, тут всё просто:
|
||
<div class="math">$$x = x^{\underline{1}}$$</div>
|
||
С бОльшими степенями сделаем следующее: считая, что все степени, меньше, чем <span class="math">\(k\)</span> мы выражать умеем, раскроем скобки в определении нижней степени. Теперь поймём, что старший коэффициент <span class="math">\(1\)</span>: <span class="math">\(x^{\underline{k}} = x^k + \sum_{i=1}^k a_ix^i\)</span> или <span class="math">\(x^k = \sum_{i=1}^k a_ix^i - x^{\underline{k}}\)</span>. Осталось понять, что каждое из слагаемых вида <span class="math">\(a_ix^i\)</span> мы умеем выражать через нижние степени. Таким образом, можно получить следующее:
|
||
<div class="math">$$ \sum_{i=1}^{n} i^k = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} a_j i^{\underline{k}} = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} a_j i^{\underline{k}} = \sum_{j=1}^{k} \frac{a_j \left(n+1 \right)^{\underline{k+1}}}{k+1}$$</div>
|
||
</p>
|
||
<p>Кстати, формула для суммы в самом начале такая:
|
||
<div class="math">$$ \sum_{i=1}^n i^5 = \frac{1}{12} n^2 \left(n+1 \right)^2 \left(2n^2 + 2n-1 \right) $$</div>
|
||
</p>
|
||
<script type="text/javascript">if (!document.getElementById('mathjaxscript_pelican_#%@#$@#')) {
|
||
var mathjaxscript = document.createElement('script');
|
||
mathjaxscript.id = 'mathjaxscript_pelican_#%@#$@#';
|
||
mathjaxscript.type = 'text/javascript';
|
||
mathjaxscript.src = '//cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML';
|
||
mathjaxscript[(window.opera ? "innerHTML" : "text")] =
|
||
"MathJax.Hub.Config({" +
|
||
" config: ['MMLorHTML.js']," +
|
||
" TeX: { extensions: ['AMSmath.js','AMSsymbols.js','noErrors.js','noUndefined.js'], equationNumbers: { autoNumber: 'AMS' } }," +
|
||
" jax: ['input/TeX','input/MathML','output/HTML-CSS']," +
|
||
" extensions: ['tex2jax.js','mml2jax.js','MathMenu.js','MathZoom.js']," +
|
||
" displayAlign: 'center'," +
|
||
" displayIndent: '0em'," +
|
||
" showMathMenu: true," +
|
||
" tex2jax: { " +
|
||
" inlineMath: [ ['\\\\(','\\\\)'] ], " +
|
||
" displayMath: [ ['$$','$$'] ]," +
|
||
" processEscapes: true," +
|
||
" preview: 'TeX'," +
|
||
" }, " +
|
||
" 'HTML-CSS': { " +
|
||
" styles: { '.MathJax_Display, .MathJax .mo, .MathJax .mi, .MathJax .mn': {color: 'black ! important'} }" +
|
||
" } " +
|
||
"}); ";
|
||
(document.body || document.getElementsByTagName('head')[0]).appendChild(mathjaxscript);
|
||
}
|
||
</script>
|
||
</section>
|
||
<hr/>
|
||
<aside class="post-meta">
|
||
<p>Категория: <a href="../../category/misc.html">misc</a></p>
|
||
<p>Теги: <a href="../../tag/matematika.html">математика</a>, </p>
|
||
</aside>
|
||
<hr/>
|
||
<div class="comments">
|
||
<div id="disqus_thread"></div>
|
||
<script type="text/javascript">
|
||
var disqus_shortname = 'likemath';
|
||
(function() {
|
||
var dsq = document.createElement('script'); dsq.type = 'text/javascript'; dsq.async = true;
|
||
dsq.src = '//' + disqus_shortname + '.disqus.com/embed.js';
|
||
(document.getElementsByTagName('head')[0] || document.getElementsByTagName('body')[0]).appendChild(dsq);
|
||
})();
|
||
</script>
|
||
<noscript>Please enable JavaScript to view the <a href="http://disqus.com/?ref_noscript">comments powered by Disqus.</a></noscript>
|
||
<a href="http://disqus.com" class="dsq-brlink">comments powered by <span class="logo-disqus">Disqus</span></a>
|
||
</div>
|
||
</article>
|
||
</li>
|
||
</ol>
|
||
</div>
|
||
</div>
|
||
|
||
<script>
|
||
var _gaq=[['_setAccount','UA-62001537-1'],['_trackPageview']];
|
||
(function(d,t){var g=d.createElement(t),s=d.getElementsByTagName(t)[0];
|
||
g.src=('https:'==location.protocol?'//ssl':'//www')+'.google-analytics.com/ga.js';
|
||
s.parentNode.insertBefore(g,s)}(document,'script'));
|
||
</script>
|
||
<script src="../../theme/js/main.js"></script>
|
||
</body>
|
||
</html> |